Tous les exercices d'analyse MP by El Haj Laamri, Philippe Chateaux, Gérard Eguether, Marc

By El Haj Laamri, Philippe Chateaux, Gérard Eguether, Marc Rezzouk, Collectif

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La fonction f est puisque f est impaire, on a sup | f (t)| = f (1/ 3) = 8 t∈R donc contractante. Elle admet un unique point fixe et la suite (u n ) converge vers . ; for i from 1 to 10 do x:=f(x) od; 27 28 Chap. 2. Fonctions réelles d’une variable réelle On obtient comme valeur approchée de le nombre 2,89328919. On remarquera que la constante de contraction étant « petite » (proche de 0,65), la convergence vers est très rapide. 4 Centrale MP 2007 1) Montrer que l’application c : x ∈ [ 1, e ] → sur [ 1, e ] .

En remplaçant L 2 par L 2 − (lL 1 + (1 − l)L 3 ), on obtient 1 x D= 0 0 1 z f (x) f (y) − (l f (x) + (1 − l) f (z)) = (z − x)(l f (x)+(1−l) f (z)− f (y)). 1 Exercices d’entraînement Il en résulte, en vertu de la convexité stricte de f , que D > 0. 2 Saint-Cyr MP 2006, CCP PC 2005 Soit I un intervalle non vide et soit f : I → R. On pose A = {x ∈ I | f ◦ f (x) = x} et B = {x ∈ I | f (x) = x}. © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit 1) Montrer que si f est strictement croissante sur I , alors A = B.

On remarque également que sur I , la fonction x → c(x) − x a une dérivée négative. Elle est donc strictement décroissante sur I . 2) Soit E = {x ∈ R+∗ , (x+1)x x x+1 } . On a également E = {x ∈ R+∗ , c(x) x } . Lorsque x ∈ ] 0, 1 [ , on a (x + 1)x > 1 > x x+1 et x n’appartient pas à E. Sur I la fonction x → c(x) − x est strictement décroissante et varie de 1 à −∞. Comme elle est continue elle s’annule en un point et un seul. Il en résulte que inf E = et est l’unique point fixe de c. Il résulte des résultats de l’exercice précédent, que, quel que soit le point x0 ∈ [ 1, e ] , la suite définie par la relation de récurrence x n+1 = c(xn ) converge vers cet unique point fixe .

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