Mengentheoretische Topologie by Boto von Querenburg

By Boto von Querenburg

Eine verständliche und vollständige Einführung in die Mengentheoretische Topologie, die als Begleittext zu einer Vorlesung, aber auch zum Selbststudium für Studenten ab dem three. Semester bestens geeignet ist. Zahlreiche Aufgaben ermöglichen ein systematisches Erlernen des Stoffes, wobei Lösungshinweise bzw. Musterlösungen zu ausgewählten Aufgaben bereitgestellt werden.
In den ersten 10 Kapiteln werden die wichtigen Begriffe und Ergebnisse der Mengentheoretischen Topologie abgehandelt. Daran schließt sich die Untersuchung uniformer Strukturen in Kapitel 11-12 an. Zur Vertiefung werden Funktionenräume, Vervollständigungen und Kompaktifizierungen in Kapitel 13-15 behandelt. Für die Neuauflage wurden fünf zusätzliche Kapitel über topologische Strukturen in topologischen Gruppen sowie ein Abschnitt über die historischen Entwicklungen der Mengentheoretischen Topologie und der topologischen Gruppen zugefügt.

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Mengentheoretische Topologie

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15 Satz. Seien A,B zusammenhangende Teilmengen eines topologischen Raumes X. Gilt A n B ~ 0,so ist A U B zusammenhangend. 13 definierten Aquivalenzrelation. 16 Satz. • X ist genau dann zusammenhangend, wenn j edes 1 Xi zusammenhangend ist. Beweis. ~: Ist X zusammenhangend, so folgt der Zusammenhang von X. 9. -: Seien umgekehrt alle Xi zusammenhangend. Wir nehmen einen Punkt a E X. , die mit a iEI 1 1 n n in einer zusammenhangenden Menge von X liegen. Dann ist E zusammenhangend; es bleibt zu zeigen, daB E dicht in X ist.

D) That das Ma~ 0. 16 (Xi)iEI sei eine Familie von topologischen In r-1 iEI X. bilden die Mengen der Form ~ r-l U. 17 Seien X und Y topologische ~ Man zeige: mit U. C X. offen fUr aIle n Xi' R~ume, R~umen. • -+ Y eine Abbildung. ) Sind aIle Abbildungen fl Ai: Ai f: X -+ Y stetig. -+ Y stetig, so ist auch 4 Zusammenhangende Raume Aus der Analysis ist bekannt, da£ eine stetige Funktion in die reellen Zahlen jeden Wert zwischen zwei Bildern annimmt. Das liegt an einer Eigenschaft der reellen Zahlen (mit der naturlichen Topologie), die mit "zusammenhangend" bezeichnet wird.

Jeder abgeschlossenen Menge offen bzw. abgeschlossen ist. 39 Satz. Eine Abbildung f: X (X, (J1) und (Y, von 0;) ~ Y zwischen topologischen Raumen ist genau dann offen, wenn die Bilder einer Basis (}1 offen sind. 40 Satz. (a) Sei f: (X,Ol) ~ (y,(j2) abgeschlossen. 1st Bey und U offen mit f- 1 (B) C U, dann existiert eine offene Menge V ~ B mit f- 1 (V) C U. (b) Sei f: (X,LJ 1 ) ~ (Y, cr2 ) offen. 1st Bey und A abgeschlossen mit f- 1 (B) C A, dann existiert eine abgeschlossene Menge F ~ B mit f- 1 (F) C A.

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