Matrizentheorie by Felix R. Gantmacher, H. Boseck, K. Stengert, D. Soyka

By Felix R. Gantmacher, H. Boseck, K. Stengert, D. Soyka

12.1. 1. In diesem Kapitel wird folgende Frage behandelt: Gegeben seien vier Matnzen A, B, A1, B1 gleichen Typs (m, n) mit Elementen aus e nem Zahlkorper ok. Gesucht s nd die Bedingungen, unter denen zwei regulare quadra t 8che Matrizen P und Q der Ordnung m bzw. n existieren derart, dafJ gleichzeitig (1) giU. 1) Fuhrt guy die Matrizenbuschel A + J..B und A1 + J..B ein, so k6nnen die beiden 1 Matrizengleichungen (1) durch die einzige Gleichung (2) P(A + J..B) Q = A1 + J..B1 ersetzt werden. Definition 1. Wir nennen zwei Buschel A + J..B und A1 + J..B rechteckiger Ma 1 trizen gleichen Typs (m, n) streng aquivalent, wenn fUr sie die Gleichung (2) gilt und dabei P und Q konstante (d. h. von J.. unabhiingige) regulare quadratische Matrizen 2 (m-ter bzw. n-ter Ordnung) sind. ) Nach der allgemeinen Definition, der Aquivalenz von Polynommatrizen (vgl.

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AA+)* = AA+ , (A+A)2 = A+A. 4. (A+A)* = A+A, Die erste Eigenschaft bedeutet, daB die Operationen der Adjungierung und der Bildung der Pseudoinversen miteinander kommutieren. Die zweite Gleichung driickt die Umkehreigenschaft des Begriffes der pseudoinversen Matrix aus, da nach 2. die pseudoinverse Matrix zu A + gleich der Ausgangsmatrix A ist. Die dritte und vierte Gleichung besagen, daB die Matrizen AA + und A +A hermitesch und involutori8ch (das Quadrat dieser Matrizen ist gleich der Matrix selbst) sind.

Urn die Minoren von (31) in einem quadratischen Schema anordnen zu konnen, numerieren wir aIle N Kombinationen der Indizes 1,2, ... , n in einer bestimmten (z. B. lexikographischen) Reihenfolge. Erhalten die Kombinationen der Indizes i l < i2 < ... < ip und kl < k2 < ... < kp bei dieser Numerierung die Nummern

Rla pl 1st + ... + Rpapp + apk = 2 2 (25) } O. p) =1= 0, ... p konnen wir die R l , R 2 , ••• , Rp aus (25) bestimmen und in (24) einsetzen. Diese Elimination der R l , R 2 , ••• , Rp kann man auch folgendermaBen durchfiihren: Man erganzt das Gleichungssystem (25) durch die mit (24) aquivalente Gleichung 80 (24') Da dieses System von p + 1 homogenen Gleichungen die nichttriviale Losung R l , R 2, ••• , R p' Rp+1 =" 1 hat, ist = a pl a pp apk ail aip aik - O. aW Hieraus ergibt sich i) 2 ...

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