Lineare algebraische Gruppen by Wulf-Dieter Geyer

By Wulf-Dieter Geyer

Lineare algebraische Gruppen

4-stündige Vorlesung

Zeit und Ort:
Dienstag und Donnerstag von 8.00 - 10.00 Uhr im kleinen Hörsaal des Mathematischen Instituts, Bismarckstr. 1 1/2.

Die Vorlesung beginnt am sixteen. Oktober 2001. Das algebraische Analogon der analytischen Theorie der Lie-Gruppen ist die Theorie der Algebraischen Gruppen, die in zwei zunächst relativ disjunkte Teile zerfällt, die Abelschen Varietäten und die Linearen Algebraischen Gruppen. Die Vorlesung soll sich den Linearen Algebraischen Gruppen widmen, additionally den durch Polynomgleichungen definierten Matrizengruppen, wie z.B. orthogonalen, unitären, symplektischen and so forth. Gruppen, die in Mathematik und Physik und darüber hinaus eine wichtige Rolle überall dort spielen, wo von kontinuierlichen Symmetrien die Rede ist.

Die Vorlesung will die diesen wichtigen Beispielen gemeinsame Theorie beleuchten inklusive arithmetischer Aspekte, sie orientiert sich an dem Buch

Armand Borel: Linear Algebraic teams, Springer Verlag
Erforderliche Vorkenntnisse: Die 2-semestrige Grundvorlesung über Algebra und Zahlentheorie. Wünschenswert wären einige Kenntnisse aus der Algebraischen Geometrie, die aber bei Bedarf auch in Exkursen in der Vorlesung erarbeitet werden können.

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1 1 1 ...... . . . . . . . . . . . . ..... . . . .. ... 4 ... 3 ... 2 1 1 1 4 ...... 3 ...... 5 ..... . . . . ..... ..... ..... 1 1 1 2 2 3 ..... 3 ..... 3 ..... 2 ........ ........ 1 1 1 2 2 1 1 2 4 4 3 3 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Der Rest dieses Abschnittes besteht darin zu sehen, da die in De nition 2 gegebene kombinatorische Ordnung auf den Partitionen gerade der in De nition 1 gegebenen topologischen Ordnung auf den Konjugationsklassen nilpotenter Matrizen entspricht.

Die quadratische Gleichung q(x) = ist uber ek irreduzibel au er im Fall n = 2 und = 0; bis auf diesen Ausnahmefall sind die Spharen S also irreduzible Hyper achen, die nur fur = 0 in 0 eine Singularitat haben, sonst glatt sind. Ist 6= 0 und x 2 S , so liefert die Spiegelung an einem anisotropen Vektor im orthogonalen Komplement (kx)? eine Isometrie g 2 On n SOn mit gx = x , also ist S auch eine SOn -Bahn. Ist 0 6= x 2 S0 und n > 2, so wahle y 2 A n mit (x; y) 6= 0 und einen anisotropen Vektor in (kx + ky)?

2+1 .... + . . . . . . ... .... 3 + 1 + 1 + 1 ...... ..... 2 + 2 + 2 . . ..... . ..... ........ 2 + 2 + 1 + 1 .. .. 2 + 1 + 1 + 1 + 1 .. .. 1+1+1+1+1+1 2. Transformationsgruppen 52 Das gro te Element der partiellen Ordnung ist stets die Allpartition n = n , die der zyklischen nilpotenten Matrix 00 1 0 ::: 01 BB 0. 0. 1 : : : 0. CC ... C B@ .. 0 0 0 ::: 1A 0 0 0 ::: 0 entspricht, das kleinste Element ist die Gleichheitspartition n = 1 + 1 + + 1, die der halbeinfachen nilpotenten Nullmatrix 0n entspricht.

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