Lineare Algebra und Analytische Geometrie by Oswald Riemenschneider

By Oswald Riemenschneider

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Aj−1  aj−1        A =  aj  −→  λ aj  aj+1  aj+1      .   .  ..   .. am am         =: AI .     50 7 Basiswechsel und Matrizen II. Addition der k–ten Zeile zur j–ten Zeile, k = j . III. Addition des λ–fachen der k–ten Zeile zur j–ten Zeile, k = j (λ ∈ K∗ ) . IV. Vertauschen der j–ten Zeile mit der k–ten Zeile, k = j . III. und IV. entstehen jedoch aus I. und II. Schematisch sieht das so aus: aj ak aj ak −→ aj −ak I λ −→ −→ aj λak aj aj − ak II −→ aj + λak λak −→ Iλ−1 −→ aj − (aj − ak ) aj − ak aj + λak ak = ak aj − ak −→ ak aj .

Wir behaupten: ϕ ist ein Isomorphismus. a) Es sei v ∈ ker ϕ . Dann ist v ∈ ker F ∩ V = {0} , also v = 0 , d. h. ϕ ist injektiv. b) w ∈ im F =⇒ w = F (v) , v ∈ V = ker F ⊕V =⇒ v = v0 + v =⇒ w = F (v) = F (v0 + v ) = F (v0 ) + F (v ) = 0 + ϕ (v ) = ϕ (v ) . Also ist ϕ surjektiv. F¨ ur die Existenz von Komplementen benutzen wir nun im allgemeinen Fall den Basissatz . Die mit F ,,¨ ubereinstimmende“ lineare Abbildung f in dem folgenden Diagramm ✲W F V ❅ f❅ ❅ ❅ ❘ im F ✒ ahlt man irgendeine Basis (wλ )λ∈Λ von im F und Urbilder vλ ∈ V von wλ unter ist surjektiv.

Beispiel . (Kn , Trans (Kn ), τ ) heißt der affine Raum An (oder besser: An (K) ). Dies ist aber auch schon das Standardbeispiel. Sei n¨ amlich (X, T (X), τ ) beliebig vorgegeben, also T (X) ∼ = Kn . W¨ahle dann x0 aus X fest und betrachte einen beliebigen Punkt x ∈ X . Dann gibt es genau ein Gruppenelement g ∈ T (X) mit τg (x0 ) = x . Man schreibt auch −→ g = x0 x . Aus dieser Definition folgt unmittelbar −→ −→ −→ x0 x + xx1 = x0 x1 , −→ −→ xx0 + x0 x = id . Also hat man eine offensichtlich injektive und surjektive Abbildung X −→ x −→ x0 x ∈ T (X) ∼ = Kn , mit deren Hilfe man X und T (X) identifizieren kann.

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