Lineare Algebra I und II by Günther Trautmann

By Günther Trautmann

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R {Algebren. Beispiel 5: Der Korper C = R 2 ist als R 2 ein R{Vektorraum, aber als Korper/Ring auch eine R {Algebra. Beispiel 6: Die Menge CF (Q ) der Cauchy{Folgen in Q ist eine Q {Algebra, vgl. 13, wenn man (x ) = ( x ) setzt. Beispiel 7: Abelsche Gruppen als Z{Moduln. Ist (A; +) eine abelsche Gruppe, so hat man fur eine naturliche Zahl n 1 die Vielfachen na = a| + {z + a} n und 0 a = 0A, so da die obigen Gesetze fur die Skalaroperation gelten. Setzt man zusatzlich ( n)a := (na); so ist die Skalaroperation auf Z ausgedehnt, Z A !

Polarkoordinaten und geometrische Interpretation der Multiplikation: Hier werden die Eigenschaften der Winkelfunktionen cos(t) und sin(t) fur t 2 R als bekannt vorausgesetzt. Es bezeichne S 1 = fz 2 C j jzj2 = x2 + y2 = 1g den Einheitskreis des R 2 in der euklidischen Norm, vgl. 4. Wegen cos2(t)+sin2(t) = 1 erhalt man eine Abbildung R ! S 1 durch t 7! (cos(t); sin(t)). Aus der Kenntnis des Verhaltens von cos und sin kann man zeigen, da die Einschrankung dieser Abbildung auf das Intervall 0; 2 eine bijektive Abbildung 0; 2 !

Wird jeder Ring (A; +; ) zu einer Z{Algebra. Dazu hat man das Gesetz n(ab) = (na)b fur n 2 N und a; b 2 A, ein Spezialfall des allgemeinen Distributivgesetzes, vgl. 6. Der Korper C ist eine R {Algebra. Jeder Modul RA wird auch zu einer R{Algebra, wenn man die Multiplikation wie die Addition komponentenweise durch (x )(y ) := (x y ) de niert. B. 13 benutzt. Ein Spezialfall einer solchen Algebra ist die Boolsche Algebra P (f1; : : : ; ng) = Zn2 , vgl. Aufgaben. Im allgemeinen ist diese Algebrenstruktur auf RA aber nicht besonders wichtig.

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