Lineare Algebra I by Marc A. Nieper-Wißkirchen

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A Elemente in R, so ist f (a , . . , a ) dasjenige Element in R, welches wir erhalten, wenn wir die xi in R durch die ai ersetzen, also f (a1 , . . , an ) = f (an )(an−1 ) · · · (a1 ) unter der Beziehung R[x1 , . . , xn ] = R[x1 ] · · · [xn ]. 20. Sei φ : R[x] → S ein Homomorphismus von R-Algebren. Zeige, daß genau ein y ∈ S mit φ = y ∗ existiert. 21. Die Angabe eines Homomorphismus R[x] → S von R-Algebren ist also a¨quivalent zur Angabe eines Elementes in S, n¨amlich des Bildes von x. Diese Tatsache k¨onnen wir auf Polynomringe in mehreren Variablen verallgemeinern: Ist φ : R[x1 , .

Gib alle L¨osungen des linearen Gleichungssystems t t−1 0 ·x= 1 − t t2 −1 0 (1 − t)−1 u ¨ber dem K¨orper Q(t) an. 15. Sei φ : R → S ein Homomorphismus kommutativer Ringe. Seien weiter n A ∈ Rm und c ∈ Rn . Zeige dann: Ist b ∈ Rm eine L¨osung des Gleichungssystems A·x = c u ¨ber R, so ist φ(b) eine L¨osung des Gleichungssystems φ(A) · x = φ(c) u ¨ber S. 1 Diese Konvention ist auch unter dem Namen Einsteinsche Summenkonvention bekannt. 16. Sei R ein kommutativer Ring. Seien weiter A ∈ Rm und c ∈ Rn .

Unter Beachtung der Tatsache, daß beliebige Matrizen durch Festhalten einer Zeile beziehungsweise Spalte Zeilen- und Spaltenvektoren liefern, k¨onnen wir den Spaltenvektor A · b auf folgende Weise kompakt schreiben: A · b = (Aij bj )i . 12. Seien R ein kommutativer Ring und A ∈ Rnn . Dann ist A · ej = Aj . die j-te Spalte von A. 13. Berechne das Produkt     2x −1 0 x 2 −3x + 2 0 −1      −2 ·  2x2 x3 − x −3x 2 x 1 0 0 u ¨ber dem Polynomring Z[x]. Ist A = (Aij ) und c = (ci ), so k¨onnen wir unser Gleichungssystem L von oben damit in der Form A·x=c schreiben.

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