Lineare Algebra by Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)

By Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)

"Da? ein Einf?hrungstext zur Linearen Algebra bei der st?ndig wachsenden Flut von Lehrb?chern zu diesem weitgehend standardisierten Stoff ?berhaupt noch Besonderheiten bieten kann, ist gewi? bemerkenswert. Um so erstaunlicher, da? die hier schon beim ersten Durchbl?ttern ins Auge springen... (Sie liegen in dem) im Kleindruck beigegebenen "Nebentext", in dem der Autor neben Beweisdetails vor allem "Erl?uterungen, Motivation, gutes Zureden ", historische Hinweise und Aufmunterungen zum Lesen anderer Literatur untergebracht hat... Es wird all das Mehr wiedergegeben, das eine gute Vorlesung gegen?ber einem Lehrbuch im ?blichen Stil (Definition - Satz - Beweis - Beispiel) auszeichnet. Ein anderes charakteristisches Merkmal des Buches besteht in der Unterteilung in einen Kerntext, der die wichtigsten S?tze der Theorie enth?lt, und in Erg?nzungen f?r Mathematiker und f?r Physiker. Am Ende jedes Paragraphen werden dem Erstsemesterstudenten neben ?bungsmaterial auch einfache Testfragen angeboten, an denen er sein Verst?ndnis erproben kann." #Mathematisch-Physikalische-Semesterberichte#1

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Vektorraum heißt auf Englisch "vector space", und Vektorunterraum heißt bei Halmos "subspace" oder "linear manifold". Die meisten Fachausdrücke übersetzen sich sowieso von selber: scalar - Skalar, product - Produkt, prime number - Primzahl etc. Also keine Angst! 1: Die in der Definition des Vektorraums als Axiome festgehaltenen Rechenregeln sind natürlich nicht alle Rechenregeln, die man sich denken kann; im Gegenteil: Bei der Aufstellung eines Axiomensystems ist man bestrebt, möglichst wenige und möglichst einfache Axiome so auszuwählen, daß man alle anderen Regeln, die man sich für den Begriff "wünscht", aus den Axiomen folgern kann.

So allgemein diese Bestimmung auch ist, drückt sie doch schon eine andere Auffassung vom Vektor aus, denn die mathematischen Vektorraumaxiome enthalten keine, auch nicht die geringste Forderung an Herkunft oder Eigenschaften der Vektoren. (2) Ein physikalischer Vektor hat "magnitude", einen Betrag, beim mathematischen Vektor gehört das nicht zur Begriffsbestimmung. Werden aber doch, durch die Zusatzstruktur eines Skalarprodukts (. ), Beträge eingeführt, so sind das reelle Zahlen und nicht, wie in der Physik, dimensionsbehaftete physikalische Skalare.

Yn) n-tupel reeller Zahlen, so werde deren Summe durch (Xl, ... ,Xn) + (Yl, ... ,Yn) := (Xl + YI,··· ,Xn + Yn) erklärt. Die Summe ist also wieder ein n-tupel reeller Zahlen. "'X n ) mit einer reellen Zahl A zu multiplizieren hat: Definition: Ist A E IR und (Xl, ... , X n ) E IRn , so erklären wir A(xl, . ,X n ) := (AXI, ... , Ax n ) E IR n . B. für die Addition: (1) Für alle x,y,z E Rn gilt (x+y)+z=x+(y+z). (2) Für alle x, y E Rn gilt X + y = y + x. (3) Schreiben wir kurz 0 statt (0, ... ,0) E Rn, so gilt X + 0 = X für alle X ERn.

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