Les nombres premiers, entre l'ordre et le chaos by Gérald Tenenbaum

By Gérald Tenenbaum

Depuis l. a. plus haute Antiquité, leur suite infinie passionne mathématiciens, philosophes et profanes : régulière puisque arithmétique, et cependant d’allure chaotique et aléatoire, elle constitue une intarissable resource de défis pour l’esprit humain.
Longtemps étudiée pour elle-même, l. a. théorie des nombres premiers est aujourd’hui utilisée à los angeles fois comme principe théorique pour des purposes à haute valeur ajoutée, telles que los angeles cryptographie, et comme paradigme de système stochastique.

La recherche est plus lively que jamais dans ce domaine de los angeles théorie des nombres, ainsi qu’en témoignent de récentes et prestigieuses avancées.

Cet ouvrage invite le lecteur à une prom initiatique autour du problème de l. a. répartition des nombres premiers parmi les nombres entiers. Historique et méthodologique, le texte constitue une concise mais solide creation aux concepts actuelles de l. a. théorie analytique des nombres premiers.

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Avec les ordinateurs actuels, et pour des valeurs de N n’excédant pas quelques centaines, le codage est quasiment instantané. 1. On a c2 d2 ≡ 1 (mod ϕ(n2 )), donc M2d2 ≡ M (mod n2 ) si (M, n2 ) = 1. On peut montrer que cette relation persiste même si (M, n2 ) > 1. 19 LES NOMBRES PREMIERS, ENTRE L’ORDRE ET LE CHAOS 6. Résidus quadratiques Soit p un nombre premier impair. Considérons l’application q : (Z/pZ)∗ → (Z/pZ)∗ définie par q(x) = x 2 . Alors q est un homomorphisme multiplicatif, c’est-à-dire que l’on a identiquement q(xy) = q(x)q(y).

Chaque classe possède un unique représentant dans l’ensemble {0, 1, . . , m − 1}, et le représentant d’un entier quelconque n est alors égal à son reste dans la division par m. L’ensemble des classes d’équivalence est noté Z/mZ,(2) et l’on peut vérifier que, pour tous entiers a, b, les classes a + b et ab ne dépendent que des classes respectives de a et b. On peut donc munir Z/mZ d’une addition et d’une multiplication définies par a + b = a + b, a b = ab. Ces opérations(3) confèrent à Z/mZ une structure d’anneau commutatif unitaire : autrement dit, les règles de calcul sont 1.

2) Cela établit le théorème d’Euclide sous une forme forte : la série des inverses des nombres premiers diverge. Comme nous le verrons par la suite, la minoration trouvée fournit le bon ordre de grandeur (et même un équivalent asymptotique) pour la somme p x 1/p. 1. On a en fait q = p2ν+1 n p. 2. Rappelons que ln2 signifie ln ln. 23 LES NOMBRES PREMIERS, ENTRE L’ORDRE ET LE CHAOS En effet, on peut montrer que le théorème des nombres premiers équivaut à la relation asymptotique pn ∼ n ln n (n → ∞).

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