Lehrbuch der linearen Algebra by Walter Nef (auth.)

By Walter Nef (auth.)

Das vorliegende Buch ist aus einer Grundvorlesung über lineare Algebra hervorgegangen, die ich an der Universität Bern mehrmals gehalten habe. Diese Vorlesung ist für Studenten des zweiten Hochschulsemesters bestimmt, und zwar sowohl für solche, die Mathematik als Hauptfach studieren, wie auch für Nebenfachmathematiker. Bei den letzteren handelt es sich vor allem um Ver­ sicherungsmathematiker, Astronomen, Physiker und Chemiker, denen sich . gelegentlich auch mathematisch interessierte Volkswirtschaftler angeschlossen haben. Aus der Verschiedenartigkeit der Hörer ergab sich vorerst die now not­ wendigkeit, die Vorlesung möglichst voraussetzungslos aufzubauen, was once auch im Buch zum Ausdruck kommt. Vorausgesetzt wird die durch das gym vermittelte mathematische Bildung und die Fähigkeit zu abstraktem Denken. Wünschenswert ist die Kenntnis der vektoriellen Geometrie, da sie wertvolles Anschauungsmaterial für die allgemeine Theorie liefert. Sodann mußte der Inhalt der Vorlesung auf das Wichtigste beschränkt bleiben, weshalb auch im Buch nur die reellen und komplexen Vektorräume betrachtet werden, mit Ausnahme des letzten Kapitels. Schließlich werden auch die Anwendungen der linearen Algebra berück­ sichtigt, entsprechend den Bedürfnissen der meisten Hörer. Neben Einzel­ heiten der Stoffauswahl kommt dies vor allem darin zum Ausdruck, daß für die wichtigsten Problemklassen der numerischen linearen Algebra jeweils ein einfaches Rechenverfahren erklärt wird. Daß dabei auf Vollständigkeit ver­ zichtet werden muß, versteht sich von selbst. Nicht allgemein üblich ist die Behandlung der linearen Programmierung, der Ausgleichung nach Tschebyscheff und der Spieltheorie in einem Lehrbuch der linearen Algebra. Ich habe diese Sachgebiete in der shape von Einführungen aufgenommen, weil es sich um immer wichtiger werdende Teile der linearen Algebra handelt.

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Es ist dann/(x) = (~l. , ~n) E Rn. Jedem XE E wird also, wie wir kurz sagen wollen, seine Komponentenzeile zugeordnet. Satz 4. Eine Teilmenge 8 cE ist dann und nur dann linear alJhängig, wenn die Bildmenge 1(8) c F o (B) linear abhängig ist. Beweis. • Beispiel 5. B = {eI, e2, e3} sei eine Basis in G3. Ferner sei Xl = + 2 e2 - e3 E G3 und somit I( xü = + e2 + 2 e3 E G3 und somit I(X2) = el + 4 e2 + 3 e3 E G3 und somit I( X3) = el X2 = - el X3 = - Nun ist im R 3 : + ( E R3 (- I, 1, E R3 E R3. (Xl) , I(X2) , I(X3) sind also im R 3 linear abhängig.

Des normalen Austauschverfahrens angewandt. B. Die beiden ausgetauschten Vektoren werden mit (- 1) multipliziert. Die damit festgestellte enge Beziehung zwischen den Austauschverfahren für die beiden Interpretationen wird als Dualitätsgesetz des Austauschverfahrens bezeichnet. Sie hängt aufs engste mit mehreren weiteren Dualitätsgesetzen der linearen Algebra zusammen (vgI. z. B. 6). Die Multiplikation der ausgetauschten Vektoren mit (- 1) läßt sich formal am einfachsten durchführen, wenn man in allen Tableaus die am linken Rand stehenden Vektoren zum vornherein mit negativem, die am oberen Rand stehenden mit positivem Vorzeichen versieht.

Beweis. Unter Hinweis auf Satz 5 zeigen wir, daß eine maximale linear unabhängige Teilmenge Be E existiert. Sei A das System aller linear unabhängigen Mengen AcE. Durch die Teilmengenrelation Al c A 2 (für Al, A 2 E A) wird A teilgeordnet. Eine Kette in A ist ein Teilsystem V c A mit der Eigenschaft: Sind Al, A 2 E V, so ist Al c A 2 oder A 2 c Al. Für jede nichtleere Kette V c A bilden wir nun die Vereinigungsmenge S(V) = U (V) cE. Dann gilt: 1. S(V) ist linear unabhängig. Sei nämlich * L IXz X = O.

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