# Kommutative Algebra by Reinhardt Kiehl

By Reinhardt Kiehl

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Beweis. Es ist klar, da die beiden erste Aussagen aquivalent sind. (2) ) (3): Aus der Voraussetzung (2) folgt, da M als A-Modul durch 0 0 M 0 n0 M also durch eine endlichen (A0 = A)-Modul erzeugt wird. (2) ) (3) Sei M endlicher L A-Modul. Dann gibt es eine naturliche Zahl n0, so da der A-Modul M durch 0 n M erzeugt wird. Daraus folgt aber 0 Mn +k = qk Mn 8k n0 0 0 De nition. Sei M ein ltrierter Modul uber dem q-adisch ltrierten Ring A: Die Filtrierung von M hei t q-gut und M q-gut ltriert, wenn eine der drei aquvalenten Bedingungen des vorhergehenden Lemmas erfullt ist.

Sei x1 ; : : :; xn eine maximale M -Folge. Dann gilt t(M ) = n Insbesondere sind die Langen aller maximalen M -Folgen eines { von Null verschiedenen { Moduls M gleich. Es gilt die Abschatzung t(M ) dim(M ) Lemma. Sei p ein assoziertes Primideal von M: Dann gilt t(M ) dim(A=p) Beweis. Wir fuhren den Beweis durch vollstandige Induktion nach der Tiefe von M: Wir konnen annehmen, da t(M ) > 0 ist. Sei a ein Nichtnullteiler von M und N = M=aM: Weil p assoziert zu M ist, gibt es eine Injektion A=p ,!

P n 2 ! P1 ! P0 ! M ! 0 mit projektiven Moduln P ist auch K projektiv. Ist M nothersch, so sind zwei weitere Aussagen zu diesen aquvivalent: (5) ExtnA (M; X ) = 0 8 endlichen A-Moduln X . 11 Folgende Aussagen sind aquivalent: (1) (2) (3) (4) gldh(A) < n: dihA (X ) < n dih(X ) < n TorAn (k; k) = 0: 8 A Moduln X: 8 endlichen A Moduln X: Beweis: (4)=) dh(k) < n =) ExtiA (k; X ) = 0 8i n 8 A Moduln X =) (3) =) ExtnA (M; X ) = 0 8 A Moduln M 8 endlichen A Moduln X =) dhA (M ) < n 8 endlichen A Moduln M =) ExtnA (M; X ) = 0 8 endlichen A-Moduln M 8 A Moduln X =) (2) =) (1): Aufgaben: Sei p ein Primideal von A, sei M ein A-Modul und N ein Ap-Modul.