Gruppentheorie [Lecture notes] by Burkhard Külshammer

By Burkhard Külshammer

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Dann ist K H, G ≤ H, K ∩ G = 1 und KG = H. Beispiel. Ist αx = idK f¨ ur x ∈ G, so ist das semidirekte Produkt von G mit K bzgl. α genau das direkte Produkt von G und K. 1. Bemerkung. In diesem Abschnitt betrachten wir Erweiterungen einer Gruppe G mit einer abelschen Gruppe K = A. Ein Parametersystem von G in A ist in diesem Fall ein Paar (α, κ) von Abbildungen α : G → Aut(A), x → αx und κ : G × G → A, (x, y) → κ(x, y) mit αx ◦ αy = αxy und κ(x, y)κ(xy, z) = αx (κ(y, z))κ(x, yz) f¨ ur x, y, z ∈ G.

Dann ist K < K, und CK /K , DK /K sind Komplemente von K/K in H/K . Da K/K abelsch ist, existiert ein h ∈ H mit DK /K = (hK )(CK /K )(hK )−1 = (hCh−1 )K /K . Daher sind D und hCh−1 Komplemente von K in DK . Nach Induktion sind also D und hCh−1 in DK konjugiert, und wir sind in diesem Fall fertig. Schließlich sei H/K aufl¨ osbar. Wegen C ∼ = H/K ∼ = D sind auch C, D aufl¨osbar. Wir w¨ahlen einen minimalen Normalteiler M von C. Dann ist M ∼ ur ein m ∈ Z und eine Primzahl p. = (Z/pZ)m f¨ Nach Dedekind ist M K = M K ∩ DK = (M K ∩ D)K und N := M K ∩ D D.

Offenbar ist H auch Hallgruppe von HM , und xU x−1 ≤ HM, |xU x−1 | = |U | |H|. Im Fall HM < G existiert nach Induktion ein y ∈ G mit yxU x−1 y −1 ⊆ H, und wir sind fertig. A. M ⊆ H. Dann ist p |H|, also H ∩ M = 1. Daher ist M die einzige p-Sylowgruppe von G. Im Fall M = F (G) existiert ein minimaler Normalteiler N = M von G. Offenbar ist |N | |H|. Daher kann man die Argumentation zu Beginn des Beweises mit N statt M wiederholen und erh¨ alt so die Behauptung. Sei also M = F (G) und daher M = CG (M ).