Géométrie différentielle et mécanique analytique (Collection by Claude Godbillon

By Claude Godbillon

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8. :l: espaces 'méfriq'ues, (E,d) étant compact. Toute application, contÎ'nue de E dans E' est alors 'nn~foTTné­ rnent contin,ne. Soit. ê > O. ) entraîne d'(f(yL f(:c)) ::; E/2. l)2) fonnent un recouvreluent ouvert de E, dont. 1:)2) LEI. Posons "1 rnin {'/hi /21 i E 1}. Si d(:1: 1J) < "1, les points :t et y appartiennent tous deux à rune des boules B(a;il11:rJ, et 011 a donc d'(f(:l;LJ(y)) ::; Ë ce qui achève la dérnollstration. 1 E:re7'cice 2 . 9 (Théol'èrne de Dini). Y un espace lnétrique cornpact et (ln) UIle suite déc'l'oi88/lnte cl 'applications continues de -"\ dans IR: telle que l'on ait liln/n(:l;)=0 en tout point :1: E""Y.

Nce à 11 est; Îufëriellrc à 11 (ft: + 1). La suite :DJ(k) est; donc convergente. Il est un peu plus délieat de rnontrer que (c) Îlnplique (a). Montrons (rabord E > O. il existe un recouvrernent Hni de E par des bonles de rayon é. raire, en choisissant ~rl arhitraire, il existerait ;1:'] n'appartenant. pas à B(;DI, E). nt pas à B(:J:llc) U B(:D2,C) et ainsi de suite. On construirait ainsi une suite de points dont les distances lllutuelles seraient 2::: ê, cette propriété sentit encore vraje pour tonte suite extraite, qui ne pourrait doue converger.

X A de la fonction d est Ini-rnèrne un espace rnétrique. On parle alors du sons-espace (et non plus sous-ensernble) il. de E. 6'. ,d 2 ) espaces x E2 nnilli de la distance luétriques. Leur produit est renselllble produit; d( (:Z:1, :];2), C'J1, Y2)) Une application f à valeur dans un Gspace produit achnct deux cOlllposantes fI à valeur dans El et f2 à valeur dans E').. Pour que f soit continue, il faut et il suffi t que fI et f2 soient continues. Si (E, ri) est un espace lllétl'ique, rapplication (:1:, y) H d(a;l y) est continue de E x E dans IR..

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