Endliche Gruppen: Eine Einführung in die Theorie der by H. Kurzweil

By H. Kurzweil

Das vorliegende Buch mochte den Leser mit den Grundlagen und Methoden der Theorie der endlichen Gruppen vertraut machen und ihn bis an ak tuelle Ergebnisse heranfuhren. Es entstand aus einer 1-semestrigen Vorlesung, setzt nur elementare Kenntnisse der linearen Algebra voraus und entwickelt die wichtigsten Resultate auf moglichst direktem Weg. Die Theorie der p-Gruppen behandeln wir z. B. nur so weit, wie es fur das Studium von p-Untergruppen beliebiger Gruppen unbedingt erforder lich ist ahnlich verfahren wir mit den nilpotenten Gruppen. Die auf losbaren Gruppen stellen wir zusammen mit den rr-auflosbaren Gruppen vor und betonen auch hier solche Aspekte, welche fur die Behandlung auflosbarer Untergruppen nicht auflosbarer Gruppen wertvoll sind. Das zentrale und bis jetzt ungeloste challenge in der Theorie endlicher Gruppen ist die Bestimmung aller einfachen Gruppen. In den letzten 20 Jahren wurden dazu eine Vielfalt tiefer Satze bewiesen, so daB eine Losung des difficulties heute nicht mehr unmoglich erscheint. Da die Be weise oft sehr lang und kompliziert sind, entziehen sie sich weitge hend einer Darstellung in einem Lehrbuch und erst recht in diesem ein fuhrenden textual content. Es haben sich jedoch eine Reihe elementarer SchluB weisen und Begriffe herausgebildet, deren Kenntnis eine Grundvoraus setzung fur die Beschaftigung mit diesem Gebiet ist. Solche darzu stellen, sowie auf typische Fragestellungen anzuwenden, ist ein Haupt anliegen unseres Buches. Dabei orientieren wir uns vor allem an dem Begriff des "Operierens" in seinen verschiedenen Formen. In Kap.

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0 Daraus folgt, ~hnlich wie unter a), daB der durch x e 2 -2 besitzt. Aus kl~rte Automorphismus odie Ordnung x5 x 1+22 er- (e ~ 3) fur alle k € IN, folgt schlieBlich, daB keine Potenz von 0 dem durch xY = x- 1 erkl~rten Automorphismus y gleich ist, also und <0> eine Untergruppe der Ordnung 2e-2 • 2 2e-1 von S = A erzeugen. Es folgt 1+2 e - 1 x folgt aus A = x <6>. Die Gleichung xt 2 2e - 3 (1 + 2 ) 1 • 1 + 2e (mod 2e ). SchlieBlioh gilt wegen xl'l = x yr;; = x2 (x e-1 -1 1+2 e - 1 ) x _1_2 e - 1 o auch xll DBUNGEN Sei peine Primzahl.

16 ist A isomorph zur multiplikativen Gruppe des Korpers 7/p7 (vergl. *) ). 32). 10 gilt A = S x T mit lSI p e - 1 und ITI = p-1. 9), ist T zyklisch, falls A eine zyklische Untergruppe der Ordnung p-1 enthalt: Sei X = x und G := = G/ die Faktorgruppe der Ordnung p von G. Wegen b) existiert ein 1 ~ k ~ p-1, so daB x ~ xk einen Automorphismus der Ordnung p-1 von G erklart. 1 •••• ). 34 a k : x ~ xk ein Automorphismus von G, dessen Ordnung durch p-1 teilbar ist. e). c gilt e-2 =2 =e = x 1+p • > die einzige Untergruppe der Ordnung p e-2 2).

0 (x) = 0 (x-I) 3. 1st n := o(x), so gilt o(xk ) = (n:k) fur k E ~ 4. Aus U ~ N ~ G und N zyklisch, folgt U ~ G. 5. q. Genau dann besitzt G mehr als drei Untergruppen, wenn p * q gilt. 6. Genau dann besitzt eine abelsche Gruppe eine Kompositionsreihe, wenn sie endlich ist. 7. Sei A eine endliche abelsche Gruppe, es seien PI' ••• 'P e e r die verschiedenen Prim- teiler von IAI und IAI = PII ••. Prr. • i=1 ~ ~. Jede maximale Untergruppe der Gruppe G sei einfach und normal in G. 11) § 2 ENDLICHE ABELSCHE GRUPPEN Wir untersuchen hier endliche abelsche Gruppen und zeigen, daB eine solche immer ein direktes Produkt von zyklischen Gruppen ist.

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