Elementare Algebra und Zahlentheorie by Gernot Stroth

By Gernot Stroth

Dieses Buch behandelt die Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie. Zentrale Begriffe sind Primelemente und irreduzible Elemente. Ausgehend vom Aufbau einer Arithmetik in Hauptidealringen und insbesondere euklidischen Ringen sind die zentralen Themen zum einen irreduzible Polynome, zum anderen Primzahlen. Dies führt zu den algebraischen Körpererweiterungen und zu Fragen nach der Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Nach einem längeren Ausflug in die Gruppentheorie bis zum Sylow-Satz und den auflösbaren Gruppen wird die Idee der Galoistheorie exemplarisch an der Frage der Auflösbarkeit von Polynomgleichungen behandelt. Zentrale Begriffe der Zahlentheorie sind die Primzahlen. Behandelt werden die Verteilung von Primzahlen, Primzahlformeln, Carmichaelzahlen, Kongruenzen, der Chinesische Restsatz und quadratische Reste bis hin zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.

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Das Kernargument war die endliche Dimension der Körpererweiterung. Wir haben nicht versucht, aus den Polynomen für a und b eines für a + b zu konstruieren. 5 k(a, b) direkt aus k konstruieren können. 7 etwas verallgemeinern, indem wir Körper betrachten, die von beliebigen Mengen algebraischer Elemente erzeugt werden. Algebraisch erzeugt. Ist K = k(M) so nennen wir K algebraisch erzeugt über k. Seien k, K Körper, K eine Körpererweiterung von k. Ist K algebraisch erzeugt über k, so ist die Erweiterung k ⊆ K algebraisch.

Es sind f = cf1 und g = dg1 mit c = cont (f ), d = cont (g) und cont (f1 ) = cont (g1 ) = 1. Also genügt es, die Behauptung für den Fall cont (f ) = cont (g) = 1 zu beweisen. Sei n m ai xi , g = f = i=0 bj x j . 1855 Göttingen), Professor in Göttingen, wird als der größte Mathematiker der Neuzeit bezeichnet. In seiner Doktorarbeit bewies er den Fundamentalsatz der Algebra (Jedes nicht konstante Polynom mit komplexen Koeffizienten hat eine Nullstelle in den komplexen Zahlen), mit 19 Jahren bewies er die Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal des regelmäßigen 17-Ecks, ein Problem, das bis auf Euklid zurückgeht.

Sei R eine Teilmenge von G mit r1 U ∩ r2 U = ∅ für r1 , r2 ∈ R, r1 = r2 und G = r∈R rU, so nennen wir R ein Rechtsnebenklassenvertretersystem von U in G. Entsprechendes gilt für Linksnebenklassen Ug. 3 Seien G eine Gruppe und g ∈ G. Sei n ∈ N minimal mit g n = 1. Ist m ∈ N mit g m = 1, so ist n ein Teiler von m. Bemerkung. 3, so sagen wir, dass g die Ordnung n hat, und schreiben o(g) = n. Beweis. Wir teilen m durch n mit Rest, also m = xn + r mit 0 ≤ r < n. Nun gilt 1 = g m = (g n )x g r = g r .

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