Einführung in die lineare Algebra by Rolf Walter (auth.)

By Rolf Walter (auth.)

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Orientierung Das Skalarprodukt ist zunächst eine reine Rechengröße. Ihre Bedeutung wird sich jedoch bald herausschälen. Natürlich gilt (5) (u, u) = (UI)2 + ... , also lul=~. (6) Damit ist bereits die Länge durch das Skalarprodukt ausgedrückt. Der folgende Satz enthält einige einfache, beim Rechnen nützliche Regeln. Satz C. 4) (u, u) >0 für alle u -=cF O. Beweis: Es handelt sich jeweils um eine kleine Rechnung, die z. B. l) aufgeschrieben sei: Ist v' = (v;, ... , v~), so gilt einerseits (7) (u, v + v') = UI (VI + v;) + ...

Es werden jeweils gewisse Grundregeln vorgegeben und aus diesen Folgerungen gezogen. Auf diese Weise entstehen die verschiedenen Strukturen der Mathematik. Das Ziehen von Folgerungen, das Beweisen, geschieht auf rein logischem Wege. Die naive Anschauung ist dafür kein sicheres Fundament. Deshalb können intuitive Argumente in einem mathematischen Beweis keinen Platz haben, sie stellen jedoch oft ein wesentliches Hilfsmittel dar, um Beweisideen ausfindig zu machen. Zunächst behandeln wir einige einfache algebraische Strukturen.

H. wenn jedes Element von N genau einmal in der zweiten Zeile der Wertetabelle vorkommt. Die Menge aller dieser Permutationen wird durch6 n bezeichnet. Zu jeder bijektiven Abbildung 0: N ~ N ist die Umkehrabbildung 0- 1 : N -+ N definiert. Ferner ist zu zwei Abbildungen 0: N -+ N und 7: N -+ N die Komposition 007: N -+ N erklärt, nämlich durch (0 0 7) (i) := 0(7(i» für alle i E N (kurz: erst 7, dann 0 anwenden). O) bei Verwendung der Komposition 0 als Verknüpfung. 3) sind erftiltt: Das Assoziativgesetz (0 0 7) 0/1 = 0 0 (7 0 /1) gilt für beliebige Abbildungen.

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