Codierungstheorie: Algebraisch-geometrische Grundlagen und by Werner Lütkebohmert

By Werner Lütkebohmert

Beginnend mit der Fragestellung nach zuverlässiger Datenübertragung wird die elementare lineare Codierungstheorie dargestellt. Insbesondere wird das challenge der Konstruktion von optimalen Codes herausgearbeitet. Dieses anspruchsvolle challenge wird mit Mitteln der algebraischen Geometrie gelöst. Das Buch liefert einen schnellen elementaren Zugang zu den algebraischen Kurven und führt den Leser an die grundlegenden Sätze von Bezout und Riemann-Roch heran. Weiterhin werden klassische Fragen von E. Artin und A. Weil über die Zetafunktion eines algebraischen Funktionenkörpers ebenfalls vollständig behandelt. Außerdem werden algebraische Kurven über endlichen Körpern mit vielen rationalen Punkten konstruiert. Nach der mehr theoretischen Lösung des difficulties optimaler Codes wird abschließend der algorithmische Zugang von der Codierung bis zur Decodierung behandelt.

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Wurden (bijektive) lineare Abbildungen f: lF2' -7 lF2' nicht zum Ziel fUhren, da in diesem Fall S2 aus S1 berechenbar ware. 2 verwendet. Wir brauchen die folgenden Tatsachen: (1) Es gibt genau einen Korper lF2r mit 2T Elementen. Dieser enthalt lF 2 . Man kann IF 2r als Vektorraum mit IF 2' identifizieren; die Additionen entsprechen sich also. (2) Uber lF2r hat eine quadratische Gleichung x2 + ax + b = 0 hochstens 2 verschiedene Losungen. Wir wahlen nun fur f die Abbildung f(x) = x 3 . Hat man dann wie eben fUr i"l j den Fehlervektor ei + ej der Hamming-Norm 2, so bestehen zwischen Z,], S1, S2, aufgefasst als Elemente von lF 2 k, folgende Gleichungen +j + j3 i i3 S1 S2 Wegen i"l jist S1"1 0 .

Dies gilt insbesondere fUr Falle, in welchen nur wenige Fehler zu korrigieren sind. Da sie auch einfach zu decodieren sind, sind sie von groBer praktischer Bedeutung. 3 Der binare BCH-Code Br hat die Parameter Lange Dimension Kontrollgleichungen Minimalabstand n = 2r k = 2r 2r 5 - 1 - 1- 2r Er ist ein 2-fehlerkorrigierender Code und einfach zu decodieren. Bei kleiner Fehlerwahrscheinlichkeit und n::::; ca. 500 ist er einer der besten Codes. ) ist eine symmetrische Bilinearform. ) ist nicht ausgeartet; zu jedem x ElF,;' - {O} , existiert ein y ElF,;' mit (x, y) i= 0 .

2 T -1} Die Spaltenvektoren von J sollen alle "I 0 sein; sie sind auch Spaltenvektoren von H und konnen also in der angegebenen Weise beschrieben werden. Die Decodierung der Hamming-Codes beruhte darauf, dass man jeden Fehlervektor e der Hamming-Norm :::; 1 an seinem Syndrom H et erkennen konnte. Entsprechend kommt es jetzt darauf an, f so zu wahlen, dass Fehlervektoren der Hamming-Norm 2, also Vektoren ei + ej = (0, ... ,1, ... ,0, ... , 1, ... ,0) an ihrem Syndrom identifiziert werden konnen.

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