Calcul différentiel et équations différentielles : Cours et by Sylvie Benzoni-Gavage

By Sylvie Benzoni-Gavage

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Autrement dit, si f est n fois différentiable, elle est a fortiori (n − 1) fois différentiable ; si f est de classe Cn , elle est a fortiori de classe Cn−1 . La preuve repose sur une récurrence facile. Dans l’énoncé suivant, E, F et G sont des espaces de Banach, U est un ouvert de E et V est un ouvert de F contenant U . 8 Si f : U ⊂ E → F est n fois différentiable en x ∈ U et g : V ⊂ F → G est n fois différentiable en y = f (x) ∈ V , alors g ◦ f est n fois différentiable en x. Si f est de classe Cn sur U et g est de classe Cn sur V alors g ◦ f est de classe Cn .

Le corollaire qui suit, parfois appelé théorème d’inversion globale, caractérise complètement les difféomorphismes. 18 Soit f : U → F une application de classe C1 avec U un ouvert non vide. C’est un difféomorphisme (de U sur f (U )) si et seulement si elle est injective et sa différentielle est en tout point de U un isomorphisme de E sur F. Démonstration. 14. Réciproquement, supposons f injective et telle que d f (x) ∈ Isom(E; F) pour tout x ∈ U . Alors f est bien sûr bijective de U sur f (U ).

A) On note B :=] − 1, 1[×] − 1, 1[, et pour fixer les idées, on munit R2 de la norme · ∞ . Montrer que F est Lipschitzienne sur B. b) En supposant w(0) = 0 et w(1) = 0, montrer que F est un difféomorphisme local au point (0, 1). Dire pourquoi il en est de même au point (1, 0). c) En supposant que w(t) > 0 pour tout t ∈ R, montrer que la restriction de F à D := {(x, y) ; x < y} est un difféomorphisme de D sur F(D). Soit f : R → R une application de classe C1 . On suppose qu’il existe a ∈ [0, 1[ tel que, pour tout x ∈ R, | f (x)| ≤ a.

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