An introduction to real and complex manifolds. by Giuliano Sorani

By Giuliano Sorani

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3. Y), x') = (Yl - iY3)' XI + Y2' x~ + Y2' x~ + y3'( -i' xi) = für alle pe V,x'e V'. h. cp* injektiv; da Kern(cp) = {PI Y2 = O,Yl - iY3 = O} #- (Ov),ist cp nicht injektiv und cp* nicht surjektiv. Rg(cp) = Rg(cp*) = 2. Wir betrachten nun den Spezialfall, in dem sogar V = V' ist. 4) bzw. 4a) und entsprechend cp*, falls es existiert, einen C-Endomorphismus (bzw. 4a') für die Endomorphismenmenge von V (wir lassen also die Indizes R bzw. C weg, falls keine Verwechslungen möglich sind). Bemerkung 3. Ist speziell dim( V) = n < 00, so sind die cp bzgl.

Oel ~ em umtarer oder eukhdlscher Vektorraum mit der Norm lxii fur ~e V a) Fuhre den Beweis von Satz 8 10 aus b) Bestallge fur die DIstanzfunktIOn d(~, v) = hX - yll die folgenden Regeln emer Metnk (x,}, z e V) (I) d(~,y) ~ 0, d(x,y) = o-x = y, = d(y,x), (n) d(x,}) (m) d(x, v) $ d(x,z) + d(z,y), (IV) d(x, v) = d(x + Z,} + z) (TranslatlOnsmvananz) c) Beweise Im eukhdlschen Fall die Idenlltaten (v) Ilx-y 2= 1~112+IIYI12_(,<,y)=O, (VI) Ilx + Vl 12 + Ilx - Yl12 = 2(llx 2 + IIYI12), (vn) Ilx - yll IIzll $ 11 ~ - zl Ilxll + I z - xii II}II 17.

Aus der Normalität von qJ folgt für jedes x E V IqJ(x)l2 = (tp(x),tp(x) = (tp*(x),tp*(x) = IqJ*(xW. h. 4e). 3. 10 (vgl. 10i)) sieht man zunächst (qJ(X) - Ä,' x,qJ(x) = (qJ(x),qJ(x) - Ä,. x) - ;,'(x,qJ(x) - r'(qJ(x),x) = (tp*(x),qJ*(x) = (tp* (x) - [. x, qJ* (x) - J.. 4f). 56 + i,·I(x,x) + i,·I(x,x) - ;,'(qJ*(x),x) - I·(x,tp*(x) • für beliebiges XE V. 5. Es ~el e1 = (ei e") ezne Orthonormalbasls ezne\ n-dlmen~/Ollalen umtaren (bz" euklldm hen) Vektorraume\ V und es bedeute (94g) die eznem cp E End( V) zuqeordnete Mat,,"( lJ nter cp qenau dann normal, wenn A: ezne normale Endomorphlsmu~ dle~en Vorau~~etzunqen I~t Matr/\ Ist Be"e/\ I~t c Orthonormalbasls von V, so Ist nach Satz 92 (94g') und wegen (9 4b) muß ~omlt (9 4c) gelten, aus (9 4g, g') und (9 4c) folgt umgekehrt (94b).

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