An Algebraic Introduction to Complex Projective Geometry: by Christian Peskine

By Christian Peskine

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An Algebraic Introduction to Complex Projective Geometry: Commutative Algebra

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Inequalities : a Mathematical Olympiad approach

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Recent Progress in Algebra: An International Conference on Recent Progress in Algebra, August 11-15, 1997, Kaist, Taejon, South Korea

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Soweit haben wir uns nicht mit der Frage beschäftigt, ob eine Gruppe G überhaupt eine Kompositionsreihe besitzt. Im Allgemeinen ist dies nicht der Fall. Besitzt die Gruppe eine Kompositionsreihe, so besagt dies, dass man sie schrittweise aus Erweiterungen von Gruppen durch einfache Gruppen erhält. Ist die Gruppe endlich, so besitzt sie immer eine Kompositionsreihe, und die Kompositionsfaktoren sind einfache endliche Gruppen. Dies fassen wir im folgenden Satz zusammen. 7 Eine endliche Gruppe G besitzt eine Kompositionsreihe, deren Faktoren einfache Gruppen sind.

Beweise, dass alle p-Gruppen der Ordnung p2 abelsch sind. 6. Bestimme alle Normalteiler einer Gruppe G der Ordnung 15 und folgere daraus, dass G zyklisch sein muss. 7. Das vorige Beispiel lässt sich auf Gruppen G der Ordnung pq mit p, q prim verallgemeinern: (i) Ist p < q, so hat G eine normale q-Sylow-Untergruppe. (ii) Ist p < q und p q − 1, so ist G zyklisch. 8. Es sei G eine endliche abelsche Gruppe und pn die höchste Potenz von p, die in |G| aufgeht. Zeige, dass die p-Sylow-Untergruppe G(p) von G für m ≥ n + 1 m m isomorph zu G/Gp ist, wobei Gp das Bild von G unter der Abbildung m g → g p ist.

Als Kern eines Homomorphismus ist H ∩ K normal in K. Ein Element in HK/H besitzt die Gestalt hkH und ist wegen hkH = Hhk = Hk = kH = ϕ(k) in im ϕ. Der Homomorphismus ϕ ist daher surjektiv und infolgedessen die induzierte Abbildung ϕ∗ : K/(H ∩ K) → HK/H ein Isomorphismus. 42 (Dritter Isomorphiesatz) Es seien ϕ: G → G ein Homomorphismus und H ⊆ G ein Normalteiler. Dann ist H = ϕ−1 (H ) ein Normalteiler von G, und es gibt einen kanonischen injektiven Homomorphismus ϕ∗ : G/H −→ G /H . Ist ϕ surjektiv, so ist ϕ∗ ein Isomorphismus.

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