Algèbre 1 [Lecture notes] by Laurent Berger

By Laurent Berger

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1 mi,1 + λ2 mi,2 , . . , mk ] − λ1 [m1 , . . , mi,1 , . . , mk ] − λ2 [m1 , . . , mi,2 , . . , mk ], pour 1 ≤ i ≤ k. Le produit tensoriel M1 ⊗A · · · ⊗A Mk est par d´efinition le quotient X/Y . On note m1 ⊗· · ·⊗mk l’image de [m1 , . . , mk ] dans M1 ⊗A · · ·⊗A Mk . On dispose d’une application (m1 , . . , mk ) → m1 ⊗· · ·⊗mk de M1 ×· · ·×Mk dans M1 ⊗A · · ·⊗A Mk qui est multilin´eaire, puisque : m1 ⊗ · · · ⊗ (λ1 mi,1 + λ2 mi,2 ) ⊗ · · · ⊗ mk = λ1 · m1 ⊗ · · · ⊗ mi,1 ⊗ · · · ⊗ mk + λ2 · m1 ⊗ · · · ⊗ mi,2 ⊗ · · · ⊗ mk par construction.

Supposons maintenant que k < r. Si j1 < · · · < jk sont des entiers compris entre 1 et r et si l’on appelle jk+1 , . . , jr les autres entiers compris entre 1 et r et y = mjk+1 ∧· · ·∧mjr , alors on a une application lin´eaire Λk (M ) → Λr (M ) donn´ee par x → x ∧ y. ,jk = 0 et comme ceci est vrai pour toute suite j1 < · · · < jk , les ´el´ements de la forme mi1 ∧ · · · ∧ mik avec i1 < i2 < · · · < ik sont donc libres dans Λk (M ). Si f ∈ End(V ), alors on en d´eduit pour tout k ≥ 1 une application T k (f ) : T k (V ) → T k (V ).

Mi ). Nous allons montrer par r´ecurrence sur i que Ni est libre de rang ≤ i. Comme N1 ⊂ (m1 ) A et que A est principal, N1 est de la forme (a1 m1 ) avec a1 ∈ A et il est donc libre de rang ≤ 1. Soit i ≥ 1 et I l’ensemble des a ∈ A tels qu’il existe x ∈ Ni+1 qui peut s’´ecrire x = b1 m1 + · · · + bi mi + ami+1 . C’est un id´eal de A et il est donc engendr´e par un ´el´ement ai+1 ∈ A. Si ai+1 = 0, alors Ni+1 = Ni et Ni+1 est bien libre de rang ≤ i + 1. Sinon, soit x ∈ Ni+1 tel que x = b1 m1 + · · · + bi mi + ai+1 mi+1 .

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