Algebra II by Heinz-Georg Quebbemann

By Heinz-Georg Quebbemann

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Nach dem ersten Satz des Kapitels hat jede solche Zahl auch eine Darstellung β = τ (α), τ ∈ Aut(C). Um eine Anwendung zu geben (und mit etwas Unverst¨andlichem aufzuh¨oren) sei erw¨ahnt, dass aufgrund dieses Kriteriums elliptische Kurven mit komplexer Multiplikation u ¨ber Q definiert sind.

Also h¨atten g und h in einem Zerf¨allungsk¨orper von f eine gemeinsame Nullstelle, im Widerspruch zur Separabilit¨at von f . 34 Die Kreisteilungspolynome lassen sich leicht rekursiv berechnen. Jedes α ∈ Wn (C) hat einen bestimmten Teiler d von n als Ordnung, und die Elemente der Ordnung d sind gerade die Nullstellen von Φd . Daher ist tn − 1 das Produkt aller Φd mit d|n, und wir haben die Rekursionsformel Φn = e−1 F¨ ur eine Primzahl p folgt Φpe = Φp (tp u ¨ber n schließen: tn − 1 d|n,d

Die verschiedenen zyklotomischen Mengen sind daher Z0 , Z1 und Z5 , womit f in die irreduziblen Faktoren t − 1 und f1 , f5 vom Grad 11 zerf¨allt. Um das Erzeugerpolynom g = f1 unseres Codes explizit zu berechnen, betrachten wir zun¨achst das Polynom e(t) = ta , wobei u ¨ber alle a in {0, . . , n − 1} mit a ∈ Z1 summiert wird. h. f teilt (e − 1)e und ist dann, weil quadratfrei, das Produkt der Polynome ggT(e − 1, f ) und ggT(e, f ). Der euklidischen Algorithmus liefert ggT(e, f ) = t11 + t9 + t7 + t6 + t5 + t + 1.

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