Algebra fur Einsteiger. Von der Gleichungsauflosung zur by Jörg Bewersdorff

By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach quick dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann speedy unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Man braucht also nur die Terme auszumultiplizieren und erhält dann eine Gleichung mit der gewünschten Eigenschaft. Insbesondere erklärt der Vieta’sche Wurzelsatz auch eine bereits von Cardano in seiner Ars magna niedergeschriebene Beobachtung. Dieser hatte für einige Gleichungen der Form x3 + bx = ax2 + c drei Lösungen gefunden und bemerkt, dass die Summe der Lösungen jeweils mit dem Koeffizienten a des quadratischen Terms übereinstimmen24. Eine Erklärung für diese Tatsache dürfte für Cardano allerdings schwierig gewesen sein, da dies letztlich den Gebrauch von negativen Zahlen voraussetzt, um die Gleichung in eine Form zu bringen, bei der auf der rechten Gleichungsseite nur die Null steht.

Ferrari war es nämlich gelungen, biquadratische Gleichungen der Form x 4 + px 2 + qx + r = 0 durch Addition zwei weiterer Terme zu den Potenzen x und x2 so umzuformen, dass auf beiden Seiten ein Quadrat entsteht. Geringfügig abweichend von dem Weg, den Cardano in seinem Buch beschreibt, addiert man dazu am einfachsten unter Verwendung eines später noch geeignet auszuwählenden Wertes z auf beiden Seiten der Gleichung 2zx2 + z2 und erhält dadurch x 4 + 2 zx 2 + z 2 = ( 2 z − p ) x 2 − qx + ( z 2 − r ) .

M. ), Geschichte der Algebra, Mannheim 1990, S. 183-234; Faksimile und Übersetzung: S. 196 f. Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften 31 nehmen. , xn Lösungen sind und dass es keine anderen Lösungen gibt. Man braucht also nur die Terme auszumultiplizieren und erhält dann eine Gleichung mit der gewünschten Eigenschaft. Insbesondere erklärt der Vieta’sche Wurzelsatz auch eine bereits von Cardano in seiner Ars magna niedergeschriebene Beobachtung. Dieser hatte für einige Gleichungen der Form x3 + bx = ax2 + c drei Lösungen gefunden und bemerkt, dass die Summe der Lösungen jeweils mit dem Koeffizienten a des quadratischen Terms übereinstimmen24.

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